Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites no infinito e usando propriedades de potências fracionárias. Para resolver, vamos analisar o comportamento das funções
e
quando
fica muito grande e aplicar algumas técnicas de simplificação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender como
se comporta quando
é muito grande. Podemos escrever:
Aqui, fatoramos
para facilitar a comparação com
que está subtraindo.
Passo 3
Agora, observe que para valores grandes de
,
é muito pequeno. Podemos usar a aproximação binomial para
. A aproximação é:
Isso simplifica nossa expressão anterior para:
Passo 4
Simplificando
, temos:
Então, a expressão para
fica:
Passo 5
Agora, voltamos ao limite original:
Substituindo a aproximação que encontramos:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite de
quando
tende ao infinito. Como
e
cresce sem limites quando
aumenta, temos que:
Resposta
O limite
é igual a 0.