lim x infty((x+1)^14-x^14)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty((x+1)^14-x^14). Aqui, estamos lidando com limites no infinito e usando propriedades de potências fracionárias. Para resolver, vamos analisar o comportamento das funções (x+1)^14 e x^14 quando x fica muito grande e aplicar algumas técnicas de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender como (x+1)^14 se comporta quando x é muito grande. Podemos escrever:
(x+1)^14 = x^14 (1 + 1x)^14
Aqui, fatoramos x^14 para facilitar a comparação com x^14 que está subtraindo.

Passo 3

Agora, observe que para valores grandes de x, 1x é muito pequeno. Podemos usar a aproximação binomial para (1 + 1x)^14. A aproximação é:
(1 + 1x)^14 approx 1 + 14x
Isso simplifica nossa expressão anterior para:
(x+1)^14 approx x^14 (1 + 14x) = x^14 + x^144x

Passo 4

Simplificando x^144x, temos:
x^144x = 14 x^14 - 1 = 14 x^-34
Então, a expressão para (x+1)^14 fica:
(x+1)^14 approx x^14 + 14 x^-34

Passo 5

Agora, voltamos ao limite original:
lim x infty((x+1)^14 - x^14)
Substituindo a aproximação que encontramos:
lim x infty(x^14 + 14 x^-34 - x^14) = lim x infty 14 x^-34

Passo 6

Agora, avaliamos o limite de 14 x^-34 quando x tende ao infinito. Como x^-34 = 1x^34 e x^34 cresce sem limites quando x aumenta, temos que:
lim x infty 14 x^-34 = 0

Resposta

O limite lim x infty((x+1)^14-x^14) é igual a 0.

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