Determine o valor da constante a para que lim x +infty(1+e^2 x2)^a / x=raize.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o valor da constante de forma que o limite seja igual a . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos limites, logaritmos e exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observa que quando 1 + e^2x2 approx e^2x2 tende ao infinito, cresce muito rápido, tornando o termo 1 praticamente irrelevante em comparação. Então, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, reescrevemos o limite com essa aproximação:
limx +infty (e^2x2)^a/x
Para facilitar, vamos utilizar propriedades de potências. Sabemos que e^2a cdot 2^-a/x . Além disso, . Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de 2^-a/x 1 quando x +infty quando tende ao infinito. Como está no denominador do expoente e tende a infinito, tende a 0. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:

Passo 5

Portanto, o limite simplifica para:
e^2a cdot 1 = e^2a
E isso deve ser igual a e^2a = raize , conforme o enunciado:

Passo 6

Vamos resolver para e^2a = e^1/2 . Primeiro, lembramos que 2a = 12 . Então temos:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:

Passo 7

Agora, é só isolar a = 12 div 2 = 14 :

Resposta

O valor da constante é .

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