Determine o valor da constante
para que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o valor da constante
de forma que o limite
seja igual a
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos limites, logaritmos e exponenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observa que quando
tende ao infinito,
cresce muito rápido, tornando o termo 1 praticamente irrelevante em comparação. Então, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, reescrevemos o limite com essa aproximação:
Para facilitar, vamos utilizar propriedades de potências. Sabemos que
. Além disso,
. Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como
está no denominador do expoente e tende a infinito,
tende a 0. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Passo 5
Portanto, o limite simplifica para:
E isso deve ser igual a
, conforme o enunciado:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, lembramos que
. Então temos:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
Passo 7
Agora, é só isolar
:
Resposta
O valor da constante
é
.