Calcule a integral. integral cossec^5 theta cos ^3 theta d theta

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral de . Isso envolve funções trigonométricas, então vamos usar algumas identidades e técnicas de substituição para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, lembra que integral 1sin^5 theta cos^3 theta , dtheta . Então, . Vamos substituir isso na integral:

Passo 3

Agora, vamos olhar para cos^3 theta = (1 - sin^2 theta) cos theta . Podemos escrever integral 1sin^5 theta cdot (1 - sin^2 theta) cos theta , dtheta como . E sabemos que (uma identidade trigonométrica básica). Então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição pra simplificar. Seja integral 1 - u^2u^5 , du = integral u^-5 - u^-3 , du , então . Isso deixa a integral mais fácil de resolver:

Passo 5

Agora, integra cada termo separadamente:
integral u^-5 , du = u^-4-4 = -14u^4
integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12u^2
Então, juntando tudo:
-14u^4 + 12u^2 + C

Passo 6

Por fim, voltamos a substituir -14sin^4 theta + 12sin^2 theta + C :

Resposta

A integral de 12, sin^2 theta - 14, sin^4 theta + C é:

Exercícios relacionados