Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender de substituição e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Dessa forma, o diferencial
será:
Passo 3
Agora, observamos que
está presente na integral original, o que nos permite substituir essa parte por
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Temos agora a integral
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de redução para potências de cosseno. Sabemos que:
E usamos a identidade:
Passo 5
Vamos reescrever
como
. Então:
Agora, substituímos
usando a identidade
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Fazendo outra substituição, deixamos
, então
:
Passo 7
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, somando tudo:
Passo 9
Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembrando que
e
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
(a) a substituição
(b) a substituição
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Calcule a integral.
Calcule a integral.