Calcule a integral. integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = cos theta , dtheta . Dessa forma, o diferencial será:

Passo 3

Agora, observamos que integral cos^5(u) , du está presente na integral original, o que nos permite substituir essa parte por . Assim, a integral fica:

Passo 4

Temos agora a integral cos^n(u) = cos^n-1(u) cdot cos(u) . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de redução para potências de cosseno. Sabemos que:
cos^2(u) = 1 - sin^2(u)
E usamos a identidade:

Passo 5

Vamos reescrever integral cos^5(u) , du = integral cos^4(u) cdot cos(u) , du como cos^4(u) = (cos^2(u))^2 = (1 - sin^2(u))^2 . Então:
Agora, substituímos usando a identidade :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral (1 - sin^2(u))^2 cdot cos(u) , du
Fazendo outra substituição, deixamos integral (1 - v^2)^2 , dv , então :

Passo 7

Vamos expandir (1 - v^2)^2 = 1 - 2v^2 + v^4 :
integral (1 - 2v^2 + v^4) , dv = integral 1 , dv - 2 integral v^2 , dv + integral v^4 , dv
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dv = v
-2 integral v^2 , dv = -2 cdot v^33 = -2v^33
integral v^4 , dv = v^55
Então, somando tudo:
v - 2v^33 + v^55 + C

Passo 9

Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembrando que v = sin(u) = sin(sin theta) e sin(sin theta) - 23 sin^3(sin theta) + 15 sin^5(sin theta) + C :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral sin(sin theta) - 23 sin^3(sin theta) + 15 sin^5(sin theta) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados