Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Dessa forma, o diferencial será:

Passo 3

Agora, observamos que está presente na integral original, o que nos permite substituir essa parte por . Assim, a integral fica:

Passo 4

Temos agora a integral . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de redução para potências de cosseno. Sabemos que:
E usamos a identidade:

Passo 5

Vamos reescrever como . Então:
Agora, substituímos usando a identidade :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Fazendo outra substituição, deixamos , então :

Passo 7

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, somando tudo:

Passo 9

Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembrando que e :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral.
Calcule por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Calcule a integral.
Calcule a integral.