Calcule por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando quatro métodos diferentes. Estamos trabalhando com técnicas de cálculo, especificamente integrações por substituição, por partes e usando identidades trigonométricas. Para cada método, vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Método (a): Substituição
Primeiro, vamos usar a substituição . Na substituição, a ideia é trocar parte da integral por uma nova variável para simplificar o cálculo.
  1. Definimos .
  2. Calculamos a derivada de em relação a : .
  3. Reorganizamos para encontrar : .
  4. Substituímos na integral:
  5. Integrando:

Passo 3

Método (b): Substituição
Agora, vamos tentar com .
  1. Definimos .
  2. Calculamos a derivada de em relação a : .
  3. Reorganizamos para encontrar : .
  4. Substituímos na integral:
  5. Integrando:

Passo 4

Método ©: Usando a identidade
Vamos simplificar a integral usando uma identidade trigonométrica.
  1. Sabemos que , então podemos reescrever a integral:
  2. Integrando:

Passo 5

Método (d): Integração por partes
Por último, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
  1. Escolhemos e .
  2. Calculamos e .
  3. Aplicamos a fórmula:
  4. Simplificamos:
  5. Movendo a integral para o outro lado:
  6. Isolando a integral:

Resposta

Todas as quatro abordagens nos levam a expressões equivalentes para a integral , embora algumas pareçam diferentes. Os métodos de substituição (a e b) diretamente resultam em e , que são equivalentes devido à identidade . O método usando a identidade trigonométrica © dá , que também é equivalente, já que . Finalmente, a integração por partes (d) nos retorna . Todos esses resultados representam a mesma família de funções antiderivadas para a integral original.

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