Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição
,
(b) a substituição
,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
(a) a substituição
(b) a substituição
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando quatro métodos diferentes. Estamos trabalhando com técnicas de cálculo, especificamente integrações por substituição, por partes e usando identidades trigonométricas. Para cada método, vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.
Passo 2
Método (a): Substituição
Primeiro, vamos usar a substituição
. Na substituição, a ideia é trocar parte da integral por uma nova variável para simplificar o cálculo.
- Definimos
. - Calculamos a derivada de
em relação a : . - Reorganizamos para encontrar : .
- Substituímos na integral:
- Integrando:
Passo 3
Método (b): Substituição
Agora, vamos tentar com .
- Definimos .
- Calculamos a derivada de
em relação a : . - Reorganizamos para encontrar
: . - Substituímos na integral:
- Integrando:
Passo 4
Método ©: Usando a identidade
Vamos simplificar a integral usando uma identidade trigonométrica.
- Sabemos que , então podemos reescrever a integral:
- Integrando:
Passo 5
Método (d): Integração por partes
Por último, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
- Escolhemos e
. - Calculamos
e . - Aplicamos a fórmula:
- Simplificamos:
- Movendo a integral para o outro lado:
- Isolando a integral:
Resposta
Todas as quatro abordagens nos levam a expressões equivalentes para a integral , embora algumas pareçam diferentes. Os métodos de substituição (a e b) diretamente resultam em
e , que são equivalentes devido à identidade . O método usando a identidade trigonométrica © dá
, que também é equivalente, já que . Finalmente, a integração por partes (d) nos retorna . Todos esses resultados representam a mesma família de funções antiderivadas para a integral original.
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