Calcule a integral. integral cossec^4 x cotg^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral csc^4 x cot^6 x , dx. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente cosssecante ( csc x) e cotangente ( cot x), elevadas a potências. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da cotangente é relacionada à cosssecante. Sabemos que:
ddx (cot x) = -csc^2 x
Isso sugere que podemos usar uma substituição onde u = cot x, o que simplificará nossa integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = cot x du = -csc^2 x , dx Rightarrow -du = csc^2 x , dx
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral csc^4 x cot^6 x , dx = integral csc^2 x cdot csc^2 x cot^6 x , dx
Substituindo u e du na expressão:
= integral cot^6 x cdot csc^2 x cdot csc^2 x , dx = integral u^6 cdot csc^2 x cdot csc^2 x , dx
Perceba que csc^2 x = 1 + cot^2 x = 1 + u^2, então:
= integral u^6 cdot (1 + u^2) cdot (-du) = -integral u^6(1 + u^2) , du

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
-integral u^6(1 + u^2) , du = -integral (u^6 + u^8) , du
Agora, integramos termo a termo:
= -( integral u^6 , du + integral u^8 , du ) = -( u^77 + u^99 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta por cot x para retornar à variável original:
= -( (cot x)^77 + (cot x)^99 ) + C = -cot^7 x7 - cot^9 x9 + C

Resposta

integral csc^4 x cot^6 x , dx = -cot^7 x7 - cot^9 x9 + C

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