Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente cosssecante ( ) e cotangente ( ), elevadas a potências. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da cotangente é relacionada à cosssecante. Sabemos que:
Isso sugere que podemos usar uma substituição onde , o que simplificará nossa integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de :
Substituindo e na expressão:
Perceba que , então:

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos de volta por para retornar à variável original:

Resposta

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Considere e . Encontre: