Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente cosssecante (
) e cotangente (
), elevadas a potências. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da cotangente é relacionada à cosssecante. Sabemos que:
Isso sugere que podemos usar uma substituição onde
, o que simplificará nossa integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
:
Substituindo
e
na expressão:
Perceba que
, então:
Passo 4
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, substituímos
de volta por
para retornar à variável original:
Resposta
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Considere
e
. Encontre: