Calcule a integral. integral(tg^2 x+tg^4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos calcular a integral de tan^2 x + tan^4 x em relação a x. Para isso, vamos usar cálculo integral e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que tan^2 x pode ser reescrito usando a identidade tan^2 x = sec^2 x - 1. Vamos substituir isso na integral:
integral (tan^2 x + tan^4 x) , dx = integral (sec^2 x - 1 + tan^4 x) , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar tan^4 x. Sabemos que tan^4 x = (tan^2 x)^2, então:
tan^4 x = (sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1

Passo 4

Substituindo tan^4 x de volta na integral:
integral (sec^2 x - 1 + sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx = integral (sec^4 x - sec^2 x) , dx

Passo 5

Vamos separar a integral:
integral sec^4 x , dx - integral sec^2 x , dx
Sabemos que integral sec^2 x , dx = tan x + C. Agora, precisamos resolver integral sec^4 x , dx.

Passo 6

Para integrar sec^4 x, usamos a identidade sec^4 x = tan^2 x sec^2 x + 1. Assim:
integral sec^4 x , dx = integral (tan^2 x sec^2 x + 1) , dx = integral tan^2 x sec^2 x , dx + integral 1 , dx

Passo 7

Vamos resolver integral tan^2 x sec^2 x , dx. Fazemos a substituição u = tan x, então du = sec^2 x , dx. A integral fica:
integral u^2 , du = u^33 + C = tan^3 x3 + C
Além disso, integral 1 , dx = x + C.

Passo 8

Voltando tudo junto:
integral sec^4 x , dx = tan^3 x3 + x + C
E a integral original fica:
tan^3 x3 + x - tan x + C

Resposta

A integral é tan^3 x3 + x - tan x + C.

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