Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que o enunciado pediu: . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como manipular potências de cotangente e usar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que é o mesmo que , que é . Então, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com essa forma:
Para facilitar a integração, vamos separar uma potência de :

Passo 4

Sabemos que . Vamos substituir isso na integral:
Isso simplifica para:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
Fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
Usamos a mesma substituição , :

Passo 7

Juntando as duas integrais, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a .

Passo 8

Calculamos cada termo nos limites:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores na integral definida:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Calcule a integral.
Calcule a integral.
Calcule a integral.