Calcule a integral. integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que o enunciado pediu: integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como manipular potências de cotangente e usar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que cotg x é o mesmo que cot x, que é cos xsin x. Então, cotg^3 x = cot^3 x = (cos xsin x)^3 = cos^3 xsin^3 x.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com essa forma:
integral cot^3 x , dx = integral cos^3 xsin^3 x , dx
Para facilitar a integração, vamos separar uma potência de cos x:
integral cos^2 x cdot cos xsin^3 x , dx

Passo 4

Sabemos que cos^2 x = 1 - sin^2 x. Vamos substituir isso na integral:
integral (1 - sin^2 x) cdot cos xsin^3 x , dx
Isso simplifica para:
integral cos xsin^3 x , dx - integral sin^2 x cdot cos xsin^3 x , dx
Simplificando ainda mais:
integral cos xsin^3 x , dx - integral cos xsin x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
integral cos xsin^3 x , dx
Fazemos a substituição u = sin x, então du = cos x , dx. A integral fica:
integral 1u^3 , du = integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C = -12sin^2 x + C

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral cos xsin x , dx
Usamos a mesma substituição u = sin x, du = cos x , dx:
integral 1u , du = ln |u| + C = ln |sin x| + C

Passo 7

Juntando as duas integrais, temos:
-12sin^2 x - ln |sin x| + C
Agora, aplicamos os limites de integração de pi/6 a pi/2.

Passo 8

Calculamos cada termo nos limites:
Para x = pi/2:
  • sin(pi/2) = 1
  • -12sin^2(pi/2) = -12(1)^2 = -12
  • -ln|sin(pi/2)| = -ln(1) = 0
Para x = pi/6:
  • sin(pi/6) = 12
  • -12sin^2(pi/6) = -12(12)^2 = -12 cdot 14 = -2
  • -ln|sin(pi/6)| = -ln(12) = ln 2

Passo 9

Subtraindo os valores na integral definida:
(-12 - 0) - (-2 + ln 2) = -12 + 2 - ln 2 = 32 - ln 2

Resposta

32 - ln 2

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