Calcule:

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso está na área de cálculo integral, mais especificamente integrando funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o quadrado do cosseno em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma :
Essa identidade ajuda a simplificar a potência do cosseno para algo que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, onde , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir essa integral em duas partes mais simples:
Isso facilita a resolução, já que cada parte pode ser integrada separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada parte individualmente:
  1. Para a primeira parte:
  1. Para a segunda parte:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes integradas, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de em relação a é:

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Se , ache .
Se , mostre que para todo número real .
Calcule:
Calcule: