Calcule:
integral cos ^2(4 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral de cos^2(4x) em relação a x. Isso está na área de cálculo integral, mais especificamente integrando funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o quadrado do cosseno em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma cos^2(theta):
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Essa identidade ajuda a simplificar a potência do cosseno para algo que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, onde theta = 4x, temos:
cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2
Então, a integral fica:
integral cos^2(4x) , dx = integral 1 + cos(8x)2 , dx

Passo 4

Agora, vamos dividir essa integral em duas partes mais simples:
integral 12 , dx + integral cos(8x)2 , dx
Isso facilita a resolução, já que cada parte pode ser integrada separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada parte individualmente:
  1. Para a primeira parte:
integral 12 , dx = 12x
  1. Para a segunda parte:
integral cos(8x)2 , dx = 12 cdot sin(8x)8 = sin(8x)16

Passo 6

Agora, juntando as duas partes integradas, temos:
12x + sin(8x)16 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de cos^2(4x) em relação a x é:
x2 + sin(8x)16 + C

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