Se w=x^2y^2+z^2, ache partial^3 wpartial z partial y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado é: Se , ache . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais de ordem superior. A gente vai precisar usar as regras de derivação para funções que dependem de múltiplas variáveis, como a regra do quociente e as regras de derivação para potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial wpartial y = 0 cdot (y^2 + z^2) - x^2 cdot 2y(y^2 + z^2)^2 = -2x^2y(y^2 + z^2)^2 em relação a . A função é . Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a partial^2 wpartial y^2 = partialpartial y ( -2x^2y(y^2 + z^2)^2 ) para obter a segunda derivada parcial:
partial^2 wpartial y^2 = -2x^2(y^2 + z^2)^2 - (-2x^2y)(2)(y^2 + z^2)(2y)(y^2 + z^2)^4
Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia aqui:
partial^2 wpartial y^2 = -2x^2(y^2 + z^2) + 8x^2y^2(y^2 + z^2)^3 = 6x^2y^2 - 2x^2z^2(y^2 + z^2)^3
Simplificando os termos:

Passo 4

Por último, vamos derivar a segunda derivada em relação a partial^3 wpartial z partial y^2 = partialpartial z ( 6x^2y^2 - 2x^2z^2(y^2 + z^2)^3 ) para obter a terceira derivada parcial:
partial^3 wpartial z partial y^2 = 0 - 4x^2z)(y^2 + z^2)^3 - (6x^2y^2 - 2x^2z^2)(3)(y^2 + z^2)^2(2z)(y^2 + z^2)^6
Aplicamos a regra do quociente novamente:
partial^3 wpartial z partial y^2 = -4x^2z(y^2 + z^2) - 6x^2y^2(2z)(y^2 + z^2)^4 = -4x^2zy^2 - 4x^2z^3 - 12x^2y^2z(y^2 + z^2)^4
Simplificando:

Resposta

A terceira derivada parcial de partial^3 wpartial z partial y^2 = -4x^2z(y^2 + z^2) - 12x^2y^2z(y^2 + z^2)^4 é:

Exercícios relacionados