Se , ache .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado é: Se , ache . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais de ordem superior. A gente vai precisar usar as regras de derivação para funções que dependem de múltiplas variáveis, como a regra do quociente e as regras de derivação para potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . A função é . Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a para obter a segunda derivada parcial:
Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia aqui:
Simplificando os termos:

Passo 4

Por último, vamos derivar a segunda derivada em relação a para obter a terceira derivada parcial:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Resposta

A terceira derivada parcial de é:

Exercícios relacionados

Se , mostre que para todo número real .
(1.0) Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Então, se for a medida da área da superfície que está sobre ,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide abaixo do plano .
Calcule:
Calcule: