Se
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado é: Se
, ache
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais de ordem superior. A gente vai precisar usar as regras de derivação para funções que dependem de múltiplas variáveis, como a regra do quociente e as regras de derivação para potências.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a
para obter a segunda derivada parcial:
Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia aqui:
Simplificando os termos:
Passo 4
Por último, vamos derivar a segunda derivada em relação a
para obter a terceira derivada parcial:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Resposta
A terceira derivada parcial de
é:
Exercícios relacionados
Se
, mostre que
para todo número real
.
(1.0) Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Então, se
for a medida da área da superfície
que está sobre
,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide
abaixo do plano
.
Calcule:
Calcule: