Se w = e^(-c^2 t) sen(c x), mostre que w_xx = w_t para todo número real c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos mostrar que a segunda derivada de em relação a , que é , é igual à derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Vamos usar cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a , que é . Lembrando que a derivada de em relação a é , e é uma constante em relação a .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . Isso significa derivar em relação a .
Sabemos que a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo , que é . Aqui, é uma constante em relação a , e a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar e :
Percebemos que é igual a .

Resposta

Mostramos que para todo número real .

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