Se , mostre que para todo número real .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos mostrar que a segunda derivada de em relação a , que é , é igual à derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Vamos usar cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a , que é . Lembrando que a derivada de em relação a é , e é uma constante em relação a .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . Isso significa derivar em relação a .
Sabemos que a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo , que é . Aqui, é uma constante em relação a , e a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar e :
Percebemos que é igual a .

Resposta

Mostramos que para todo número real .

Exercícios relacionados

(1.0) Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Então, se for a medida da área da superfície que está sobre ,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide abaixo do plano .
(1.0)
(i) Calcule onde é a região compreendida entre os gráficos de e .
Se , ache .
Calcule: