Se
, mostre que
para todo número real
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos mostrar que a segunda derivada de
em relação a
, que é
, é igual à derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, e
é uma constante em relação a
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
. Isso significa derivar
em relação a
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
, que é
. Aqui,
é uma constante em relação a
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar
e
:
Percebemos que
é igual a
.
Resposta
Mostramos que
para todo número real
.
Exercícios relacionados
(1.0) Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Então, se
for a medida da área da superfície
que está sobre
,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide
abaixo do plano
.
(1.0)
(i) Calcule onde
é a região compreendida entre os gráficos de
e
.
(i) Calcule
Se
, ache
.
Calcule: