Calcule:
integral sen(x) sen(8 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Neste exercício, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integração por identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade que transforma o produto de senos em soma de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma soma de cossenos:
Aqui, sen(A) sen(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2 e .

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral, temos:
Como sen(x) sen(8x) = cos(x - 8x) - cos(x + 8x)2 = cos(-7x) - cos(9x)2 , isso simplifica para:
cos(7x) - cos(9x)2

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando integral cos(7x) , dx = sen(7x)7 + C :
E integrando integral cos(9x) , dx = sen(9x)9 + C :

Passo 6

Colocando tudo de volta na expressão:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

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