Calcule a integral: integral0^1 e^2+1e^z+z d z;

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver juntos a integral . Esse exercício envolve o estudo de integrais que aparecem na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre integrais que não têm uma antiderivada simples e como podemos lidar com elas.

Passo 2

Primeiro, observe que integral0^1 e^2+1e^z+z , dz = (e^2 + 1) integral0^1 1e^z+z , dz é uma constante, pois é apenas um número fixo. Isso significa que podemos fatorar essa constante para fora da integral. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos focar na integral . Essa expressão é um pouco complicada porque a função no denominador, , não permite uma antiderivada que possa ser expressa de forma simples usando funções elementares que aprendemos até agora.

Passo 4

Quando nos deparamos com integrais que não têm uma antiderivada conhecida, podemos recorrer a métodos de aproximação, como a Regra dos Trapézios ou a regra de Simpson. Esses métodos nos dão uma estimativa do valor da integral.

Passo 5

Para simplificar, vamos usar a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo integrala^b f(z) , dz approx b - a2 [f(a) + f(b)] em pequenos trapézios e somando suas áreas.
A fórmula da Regra dos Trapézios para um único trapézio é:
integral0^1 1e^z+z , dz approx 1 - 02 [ 1e^0 + 0 + 1e^1 + 1 ]
Aplicando isso à nossa integral:

Passo 6

Calculando os valores:
e^0 = 1 e e^1 approx 2.718
Então:
1e^0 + 0 = 11 = 1
1e^1 + 1 = 12.718 + 1 approx 13.718 approx 0.269

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula da Regra dos Trapézios:
integral0^1 1e^z+z , dz approx 12 (1 + 0.269) = 12 times 1.269 = 0.6345

Passo 8

Por fim, voltamos à nossa expressão original multiplicando pela constante (e^2 + 1) times 0.6345 :
7.389 + 1 = 8.389
Sabendo que 8.389 times 0.6345 approx 5.32 , temos:
Então:

Resposta

A integral é aproximadamente igual a 5,32.

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