Calcule os limites: lim x infty e^-x sen x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, a gente está lidando com funções exponencial e trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função exponencial . Quando fica muito grande, é igual a . Como cresce super rápido quando aumenta, vai chegando cada vez mais perto de zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função seno, . A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, nunca vai além desses valores, independente de quão grande fique.

Passo 4

Quando a gente multiplica por , estamos pegando um número que está se aproximando de zero ( ) e multiplicando por algo que está sempre entre -1 e 1 (). Então, mesmo que oscile, o produto vai ser sempre um número muito pequeno perto de zero.

Passo 5

Matematicamente, podemos dizer que:
Como - e^-x <= e^-x sen x <= e^-x e , pelo Teorema do Sanduíche, temos que .

Resposta

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