Determine se a seguinte integrais
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a integral
converge ou não. Isso envolve o estudo de integrais impróprias, que aparecem quando a função tem comportamentos estranhos (como infinitos) nos limites de integração. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro do intervalo de 0 a 1, especialmente próximo aos pontos onde pode dar problema, que neste caso é quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Sabemos que
pode ser aproximada por
quando
está próximo de 0, ou seja,
para
. Portanto, perto de 0, a função fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral de
de 0 a 1, que é
. Sabemos que essa integral é igual a
, porque:
Avaliando de 0 a 1:
Como essa integral dá um valor finito, isso indica que a integral original
também converge, já que o comportamento próximo de 0 não gera problema.
Resposta
A integral
é convergente.
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