Determine se a seguinte integrais
integral0^1 raizxsin x d x
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a integral converge ou não. Isso envolve o estudo de integrais impróprias, que aparecem quando a função tem comportamentos estranhos (como infinitos) nos limites de integração. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro do intervalo de 0 a 1, especialmente próximo aos pontos onde pode dar problema, que neste caso é quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Sabemos que pode ser aproximada por quando está próximo de 0, ou seja, para . Portanto, perto de 0, a função fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de integral 1raizx dx = 2raizx + C de 0 a 1, que é 2raiz1 - 2raiz0 = 2 - 0 = 2 . Sabemos que essa integral é igual a , porque:
Avaliando de 0 a 1:
Como essa integral dá um valor finito, isso indica que a integral original também converge, já que o comportamento próximo de 0 não gera problema.

Resposta

A integral é convergente.

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