Calcule as seguintes integrais:
  1. integral cos x d xsin ^2 x-6 sin x+12

Passo 1

Então, temos a integral:
integral cos x , dxsin^2 x - 6 sin x + 12
Aqui estamos lidando com uma integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja:
u = sin x
Então, a derivada de du = cos x , dx em relação a integral duu^2 - 6u + 12 é:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos simplificar o denominador u^2 - 6u + 12 = (u^2 - 6u + 9) + 3 = (u - 3)^2 + 3 . Vamos completar o quadrado para tornar a expressão mais fácil de integrar:

Passo 4

Com o denominador simplificado, nossa integral fica:
integral du(u - 3)^2 + 3
Essa forma se encaixa na fórmula padrão da integral:
integral dxx^2 + a^2 = 1a tan^-1(xa) + C

Passo 5

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral, temos integral du(u - 3)^2 + (raiz3)^2 = 1raiz3 tan^-1(u - 3raiz3) + C :

Passo 6

Finalmente, substituímos 1raiz3 tan^-1(sin x - 3raiz3) + C de volta para :

Resposta

A integral é:
1raiz3 tan^-1(sin x - 3raiz3) + C

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