Calcule integral cos x(1-sen x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a integral . O conteúdo aqui envolve integração por substituição, que é uma técnica usada pra simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, vai deixar a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador , parece uma boa ideia definir . Assim, nossa substituição vai transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u = 1 - sen x dudx = -cos x Rightarrow du = -cos x , dx Rightarrow -du = cos x , dx , que é a derivada de em relação a . Então:
Isso significa que .

Passo 4

Vamos substituir integral cos x(1 - sen x)^2 dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 du e na integral original:

Passo 5

Agora, é só integrar:
-integral u^-2 du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C
Finalmente, substituímos 1u + C = 11 - sen x + C de volta para termos em :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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