Mostre por três métodos diferentes que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a integral de pode ser expressa de três formas diferentes. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de produtos de funções trigonométricas. Para isso, vamos usar três métodos diferentes: substituição simples com , substituição com e identidade trigonométrica da função dupla.

Passo 2

Primeiro Método: Substituição
Vamos começar fazendo uma substituição simples. Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos na integral original:
A integral de é:
Substituindo de volta:
Então, uma das formas da integral é:

Passo 3

Segundo Método: Substituição
Agora, vamos tentar outra substituição. Definimos:
Derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:
A integral de é:
Substituindo de volta:
Então, outra forma da integral é:

Passo 4

Terceiro Método: Usando a Identidade Trigonométrica
Vamos utilizar uma identidade trigonométrica que relaciona e :
Substituindo na integral:
A integral de é:
Portanto:
Então, a terceira forma da integral é:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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