Mostre por três métodos diferentes que
integral sen x cdot cos x d x & =12 sen^2 x+C & =-12 cos ^2 x+D & =-14 cos 2 x+E

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a integral de pode ser expressa de três formas diferentes. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de produtos de funções trigonométricas. Para isso, vamos usar três métodos diferentes: substituição simples com , substituição com e identidade trigonométrica da função dupla.

Passo 2

Primeiro Método: Substituição u = sin x
Vamos começar fazendo uma substituição simples. Definimos:
du = cos x , dx
Então, derivando ambos os lados em relação a integral sin x cdot cos x , dx = integral u , du , temos:
integral u , du = 12 u^2 + C
Agora, substituímos na integral original:
12 sin^2 x + C
A integral de integral sin x cdot cos x , dx = 12 sin^2 x + C é:
Substituindo de volta:
Então, uma das formas da integral é:

Passo 3

Segundo Método: Substituição u = cos x
Agora, vamos tentar outra substituição. Definimos:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx
Derivando ambos os lados:
integral sin x cdot cos x , dx = integral -u , du
Substituindo na integral:
integral -u , du = -12 u^2 + D
A integral de -12 cos^2 x + D é:
integral sin x cdot cos x , dx = -12 cos^2 x + D
Substituindo de volta:
Então, outra forma da integral é:

Passo 4

Terceiro Método: Usando a Identidade Trigonométrica sin 2x = 2 sin x cos x Rightarrow sin x cos x = 12 sin 2x
Vamos utilizar uma identidade trigonométrica que relaciona integral sin x cdot cos x , dx = integral 12 sin 2x , dx = 12 integral sin 2x , dx e integral sin 2x , dx = -12 cos 2x + E :
12 ( -12 cos 2x ) + E = -14 cos 2x + E
Substituindo na integral:
integral sin x cdot cos x , dx = -14 cos 2x + E
A integral de é:
Portanto:
Então, a terceira forma da integral é:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral sin x cdot cos x , dx = 12 sin^2 x + C = -12 cos^2 x + D = -14 cos 2x + E

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