Calcule integral 3 x1+x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do estudo de integrais em Cálculo, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que o denominador é u = 1 + x^2 , e o numerador é . Vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a :

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du2 Rightarrow 3x , dx = 32 du em termos de . De , temos:

Passo 5

Substituímos integral 3x1+x^2 , dx = integral 3x , dxu = integral 32 duu = 32 integral 1u , du e na integral original:

Passo 6

Sabemos que a integral de 32 integral 1u , du = 32 ln|u| + C em relação a é , onde é a constante de integração. Assim:

Passo 7

Finalmente, substituímos 32 ln|1 + x^2| + C de volta em termos de :

Resposta

A integral de é .

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