Calcule integral x-2(x^2-4 x+3)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando uma técnica chamada substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável nova, simplificando a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que o denominador é . Vamos chamar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = (2x - 4) , dx , que é a derivada de x - 2 = 2x - 42 = du2 em relação a :
Mas no numerador da nossa integral temos , que é metade de . Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Substituímos integral x-2(x^2-4x+3)^3 , dx = integral du2u^3 = 12 integral u^-3 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C :
12 (-12u^2) = -14u^2 + C
Multiplicando pelo que está na frente:

Passo 6

Finalmente, substituímos -14u^2 + C = -14(x^2 - 4x + 3)^2 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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