Calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração envolvendo polinômios. A função dada é
. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
A substituição é uma técnica onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
de forma que a parte complicada da função fique mais simples. Aqui, vamos escolher:
Agora, vamos calcular o diferencial de
, que é
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples:
.
Passo 4
Vamos lembrar que
pode ser escrito como
. A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à nossa substituição original, substituímos
por
:
E não nos esquecemos do fator
que havia saído da substituição:
Resposta
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Calcule, se existir, os limites abaixo:
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
Utilize o limite fundamental,
, para calcular os limites abaixo:
Calcule: