Calcule:
integral 1(3 x-2)^2 d x=-13(3 x-2)^2+k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração envolvendo polinômios. A função dada é . Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

A substituição é uma técnica onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u = 3x - 2 de forma que a parte complicada da função fique mais simples. Aqui, vamos escolher:
du = 3 , dx Rightarrow dx = du3
Agora, vamos calcular o diferencial de , que é . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 3

Substituindo integral 1(3x - 2)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral 1u^2 , du e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Vamos lembrar que integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C pode ser escrito como . A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à nossa substituição original, substituímos -1u + C = -13x - 2 + C por 13 ( -13x - 2 ) + C = -13(3x - 2) + C :
E não nos esquecemos do fator que havia saído da substituição:

Resposta

integral 1(3x - 2)^2 , dx = -13(3x - 2) + C

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