Calcule:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração envolvendo polinômios. A função dada é . Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

A substituição é uma técnica onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável de forma que a parte complicada da função fique mais simples. Aqui, vamos escolher:
Agora, vamos calcular o diferencial de , que é . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 3

Substituindo e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Vamos lembrar que pode ser escrito como . A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à nossa substituição original, substituímos por :
E não nos esquecemos do fator que havia saído da substituição:

Resposta

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Calcule, se existir, os limites abaixo:
Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio.
Utilize o limite fundamental, , para calcular os limites abaixo:
Calcule: