Calcule: integral e^x cos (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^x cos (2 x) , dx. Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos definir como u e dv. Na integração por partes, temos a fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Para a nossa integral, escolhemos:
  • u = e^x (porque a derivada de e^x é simples)
  • dv = cos(2x) , dx (a função trigonométrica que vamos integrar)

Passo 3

Agora, precisamos calcular du e v:
  • Derivando u = e^x em relação a x, obtemos:
    du = e^x , dx
  • Integrando dv = cos(2x) , dx, obtemos v:
    v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x cos(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^x cdot ( 12 sin(2x) ) - integral ( 12 sin(2x) ) e^x , dx
Simplificando:
= e^x sin(2x)2 - 12 integral e^x sin(2x) , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: integral e^x sin(2x) , dx. Vamos resolver essa integral novamente usando integração por partes.
Definimos novamente:
  • u = e^x
  • dv = sin(2x) , dx
Calculando du e v:
  • du = e^x , dx
  • v = integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes para a nova integral:
integral e^x sin(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^x cdot ( -12 cos(2x) ) - integral ( -12 cos(2x) ) e^x , dx
Simplificando:
= -e^x cos(2x)2 + 12 integral e^x cos(2x) , dx

Passo 7

Voltando à nossa equação original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
integral e^x cos(2x) , dx = e^x sin(2x)2 - 12 ( -e^x cos(2x)2 + 12 integral e^x cos(2x) , dx )
Distribuindo o -12:
= e^x sin(2x)2 + e^x cos(2x)4 - 14 integral e^x cos(2x) , dx

Passo 8

Agora, vamos isolar a integral integral e^x cos(2x) , dx. Chamaremos essa integral de I:
I = e^x sin(2x)2 + e^x cos(2x)4 - 14 I
Adicionando 14 I em ambos os lados:
I + 14 I = e^x sin(2x)2 + e^x cos(2x)4
Somando os termos de I:
54 I = e^x sin(2x)2 + e^x cos(2x)4

Passo 9

Agora, resolvemos para I dividindo ambos os lados por 54:
I = ( e^x sin(2x)2 + e^x cos(2x)4 ) cdot 45
Simplificando:
I = 2 e^x sin(2x) + e^x cos(2x)5

Resposta

A integral integral e^x cos (2 x) , dx é igual a:
2 e^x sin(2x) + e^x cos(2x)5 + C
onde C é a constante de integração.

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