Calcule:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos definir como
e
. Na integração por partes, temos a fórmula:
Para a nossa integral, escolhemos:
-
(porque a derivada de é simples) -
(a função trigonométrica que vamos integrar)
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
:
-
Derivando
em relação a , obtemos: -
Integrando
, obtemos :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos resolver essa integral novamente usando integração por partes.
Definimos novamente:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes para a nova integral:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa equação original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, vamos isolar a integral
. Chamaremos essa integral de
:
Adicionando
em ambos os lados:
Somando os termos de
:
Passo 9
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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