Calcule:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos definir como e . Na integração por partes, temos a fórmula:
Para a nossa integral, escolhemos:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (a função trigonométrica que vamos integrar)

Passo 3

Agora, precisamos calcular e :
  • Derivando em relação a , obtemos:
  • Integrando , obtemos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: . Vamos resolver essa integral novamente usando integração por partes.
Definimos novamente:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes para a nova integral:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa equação original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
Distribuindo o :

Passo 8

Agora, vamos isolar a integral . Chamaremos essa integral de :
Adicionando em ambos os lados:
Somando os termos de :

Passo 9

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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