Calcule e verifique o resultado por derivação. integral 3x^3-16 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema:
Calcular a integral de 3x^3-16x ,dx e depois verificar o resultado tirando a derivada. Então, o conteúdo aqui envolve cálculo integral e derivada, mais especificamente, integração de funções racionais e verificação por diferenciação. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 - 16x. Podemos fatorar um x comum:
x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)
Agora, temos a expressão fatorada: x(x - 4)(x + 4).

Passo 3

Com o denominador fatorado, vamos separar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
3x(x - 4)(x + 4) = Ax + Bx - 4 + Cx + 4
Onde A, B, e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x - 4)(x + 4) para eliminar os denominadores:
3 = A(x - 4)(x + 4) + Bx(x + 4) + Cx(x - 4)
Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
3 = A(x^2 - 16) + Bx^2 + 4Bx + Cx^2 - 4Cx
Agrupando os termos semelhantes:
3 = (A + B + C)x^2 + (4B - 4C)x - 16A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de x^2: A + B + C = 0
  • Coeficiente de x: 4B - 4C = 0
  • Termo constante: -16A = 3
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Começando pela terceira equação:
-16A = 3 Rightarrow A = -316
Agora, usando a segunda equação:
4B - 4C = 0 Rightarrow B = C
E usando a primeira equação com A já encontrado:
-316 + B + C = 0 -316 + 2B = 0 2B = 316 B = 332
E, como B = C:
C = 332

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
3x(x - 4)(x + 4) = -316x + 332x - 4 + 332x + 4
Simplificando:
3x(x - 4)(x + 4) = -316x + 332(x - 4) + 332(x + 4)

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x^3-16x ,dx = integral ( -316x + 332(x - 4) + 332(x + 4) ) dx
Integrando termo a termo:
-316 ln|x| + 332 ln|x - 4| + 332 ln|x + 4| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Então, a expressão integrada fica:
integral 3x^3-16x ,dx = -316 ln|x| + 332 ln|x - 4| + 332 ln|x + 4| + C

Resposta

A integral de 3x^3-16x ,dx é:
-316 ln|x| + 332 ln|x - 4| + 332 ln|x + 4| + C

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