Calcule e verifique o resultado por derivação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema:
Calcular a integral de e depois verificar o resultado tirando a derivada. Então, o conteúdo aqui envolve cálculo integral e derivada, mais especificamente, integração de funções racionais e verificação por diferenciação. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar um comum:
Agora, temos a expressão fatorada: .

Passo 3

Com o denominador fatorado, vamos separar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Começando pela terceira equação:
Agora, usando a segunda equação:
E usando a primeira equação com já encontrado:
E, como :

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Então, a expressão integrada fica:

Resposta

A integral de é:

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