Calcule e verifique o resultado por derivação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema:
Calcular a integral de e depois verificar o resultado tirando a derivada. Então, o conteúdo aqui envolve cálculo integral e derivada, mais especificamente, integração de funções racionais e verificação por diferenciação. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Calcular a integral de
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar um
comum:
Agora, temos a expressão fatorada:
.
Passo 3
Com o denominador fatorado, vamos separar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde
,
, e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Começando pela terceira equação:
Agora, usando a segunda equação:
E usando a primeira equação com
já encontrado:
E, como
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Então, a expressão integrada fica:
Resposta
A integral de
é:
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