A curva dada é girada em torno do eixo
. Calcule a área da superfície resultante:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo
. A curva dada é
no intervalo
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação da curva para facilitar a aplicação da fórmula. Dada
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
A fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo
é:
onde
e
são os limites de integração.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula da área:
Passo 6
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculamos a antiderivada de
:
Então:
Passo 8
Calculamos os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A área da superfície resultante é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
Calcule a integral:
Calcule a integral:
Calcule: o volume do sólido
contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
;