A curva dada é girada em torno do eixo . Calcule a área da superfície resultante:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo . A curva dada é no intervalo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação da curva para facilitar a aplicação da fórmula. Dada , podemos expressar em termos de :

Passo 3

A fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo é:
onde e são os limites de integração.

Passo 4

Vamos calcular a derivada :

Passo 5

Substituímos e na fórmula da área:

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:

Passo 7

Calculamos a antiderivada de :
Então:

Passo 8

Calculamos os valores numéricos:
Substituindo:

Resposta

A área da superfície resultante é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
Calcule a integral:
Calcule a integral:
Calcule: o volume do sólido contido no cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide ;