Calcule a integral.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica e manipulação algébrica. Precisaremos conhecer um pouco sobre integrais de funções trigonométricas e substituir variáveis para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar isso para reescrever :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Então, . A integral fica:

Passo 5

Vamos expandir :
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
Somando tudo:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
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