Calcule a integral. integral cos ^5 xraizsin x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica e manipulação algébrica. Precisaremos conhecer um pouco sobre integrais de funções trigonométricas e substituir variáveis para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever integral cos^4 x cdot cos xraizsin x , dx como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Sabemos que cos^4 x = (cos^2 x)^2 = (1 - sin^2 x)^2 . Vamos usar isso para reescrever integral (1 - sin^2 x)^2 cdot cos xraizsin x , dx :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos a substituição integral (1 - u^2)^2raizu , du . Então, . A integral fica:

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral 1 - 2u^2 + u^4raizu , du = integral (u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2) , du
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2
integral -2u^3/2 , du = -45u^5/2
integral u^7/2 , du = 29u^9/2
Somando tudo:
2u^1/2 - 45u^5/2 + 29u^9/2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos 2raizsin x - 45(sin x)^5/2 + 29(sin x)^9/2 + C de volta na expressão:

Resposta

integral cos^5 xraizsin x , dx = 2raizsin x - 45(sin x)^5/2 + 29(sin x)^9/2 + C

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