Calcule a integral. integral0^pi sin ^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas e uso de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar usar algumas fórmulas de identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando sin^2 x = 1 - cos(2x)2 e cos^2 x = 1 + cos(2x)2 usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin^2 x cos^2 x = (1 - cos(2x)2) (1 + cos(2x)2)
Então, multiplicando essas duas expressões:

Passo 3

Simplificando a expressão acima:
sin^2 x cos^2 x = (1 - cos^2(2x))4
Sabemos que sin^2 x cos^2 x = sin^2(2x)4 , então:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral0^pi sin^2 x cos^2 x , dx = 14 integral0^pi sin^2(2x) , dx
Para integrar sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2 , usamos outra identidade trigonométrica:

Passo 5

Substituindo na integral:
14 integral0^pi 1 - cos(4x)2 , dx = 18 integral0^pi (1 - cos(4x)) , dx

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
18 [ integral0^pi 1 , dx - integral0^pi cos(4x) , dx ]
A integral de 1 em relação a é , e a integral de é .

Passo 7

Calculando as integrais:
18 [ x |0^pi - sin(4x)4 |0^pi ] = 18 [ (pi - 0) - ( sin(4pi)4 - sin(0)4 ) ]
Sabemos que 18 [pi - (0 - 0)] = pi8 e , então:

Resposta

O valor da integral é .

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