Calcule a integral. integral0^pi / 2 sin ^7 x cos ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi/2 sin^mx cos^nx , dx = 12 B(m+12, n+12) . Essa integral envolve potências de seno e cosseno, e para resolvê-la, vamos usar a fórmula da função Beta, que relaciona integrais de potências de funções trigonométricas com a função Beta, uma função especial em matemática. Para isso, precisamos lembrar que:
Onde é a função Beta e e são os expoentes de seno e cosseno, respectivamente.

Passo 2

Identificamos os valores de m = 7 e n = 5 e na nossa integral. No caso, temos:

Passo 3

Substituímos integral0^pi/2 sin^7x cos^5x , dx = 12 B(7+12, 5+12) = 12 B(4, 3) e na fórmula da função Beta:

Passo 4

Lembramos que a função Beta está relacionada à função Gamma pela relação:
B(a, b) = Gamma(a) Gamma(b)Gamma(a + b)
Então, substituímos B(4, 3) = Gamma(4) Gamma(3)Gamma(4 + 3) = Gamma(4) Gamma(3)Gamma(7) e :

Passo 5

Sabemos que para números inteiros positivos, Gamma(4) = 3! = 6 . Então, calculamos:
Gamma(3) = 2! = 2
Gamma(7) = 6! = 720

Passo 6

Substituímos os valores de B(4, 3) = 6 times 2720 = 12720 = 160 na expressão da função Beta:

Passo 7

Volta à expressão da integral:
integral0^pi/2 sin^7x cos^5x , dx = 12 times 160 = 1120

Resposta

integral0^pi / 2 sin^7 x cos^5 x , dx = 1120

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