Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa integral envolve potências de seno e cosseno, e para resolvê-la, vamos usar a fórmula da função Beta, que relaciona integrais de potências de funções trigonométricas com a função Beta, uma função especial em matemática. Para isso, precisamos lembrar que:
Onde
é a função Beta e
e
são os expoentes de seno e cosseno, respectivamente.
Passo 2
Identificamos os valores de
e
na nossa integral. No caso, temos:
Passo 3
Substituímos
e
na fórmula da função Beta:
Passo 4
Lembramos que a função Beta está relacionada à função Gamma pela relação:
Então, substituímos
e
:
Passo 5
Sabemos que para números inteiros positivos,
. Então, calculamos:
Passo 6
Substituímos os valores de
na expressão da função Beta:
Passo 7
Volta à expressão da integral: