Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral2^6 yraizy-2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral2^6 yraizy-2 , dy. Aqui a gente tá lidando com cálculo, mais especificamente com integrais definidas. Vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral e encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir x = y - 2. Assim, quando y = 2, x = 0, e quando y = 6, x = 4. Também, dy = dx.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de x:
integral0^4 (x + 2)raizx , dx
Isso porque y = x + 2 e y - 2 = x, então raizy - 2 = raizx.

Passo 4

Vamos separar a fração para simplificar:
integral0^4 ( xraizx + 2raizx ) , dx = integral0^4 x^12 , dx + 2 integral0^4 x^-12 , dx
Aqui, usamos que xraizx = x^1 - 12 = x^12 e 2raizx = 2x^-12.

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^12 , dx = 23 x^32 + C
integral x^-12 , dx = 2 x^12 + C
Então, substituindo de volta na integral original:
23 x^32 + 4 x^12 gr|0^4

Passo 6

Agora, vamos avaliar nos limites de integração:
( 23 (4)^32 + 4 (4)^12 ) - ( 23 (0)^32 + 4 (0)^12 ) = 23 times 8 + 4 times 2 = 163 + 8 = 403

Resposta

A integral vale 403.

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