Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Estamos lidando com integração envolvendo identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas básicas das funções trigonométricas e saber como simplificar expressões usando essas identidades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Sabemos pela fórmula da duplicação que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Isso simplifica para:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Portanto, substituindo na nossa expressão:

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

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Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?
Seja a curva com equações paramétricas
Esboce a curva.
Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Seja a curva com equações paramétricas
Calcule sem usar a equação cartesiana de ;