Calcule a integral. integral cos x+sen xsen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Estamos lidando com integração envolvendo identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas básicas das funções trigonométricas e saber como simplificar expressões usando essas identidades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Sabemos pela fórmula da duplicação que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Isso simplifica para:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
e
integral 1sen x , dx = ln |tan(x/2)| + C
Portanto, substituindo na nossa expressão:
integral 1cos x , dx = ln |sec x + tan x| + C

Resposta

A integral de é:
12 ln |tan(x/2)| + 12 ln |sec x + tan x| + C
onde é a constante de integração.

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