Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?
Quantos pontos de interseção existem?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos duas partículas movendo-se no plano com posições dadas por funções de tempo. A primeira partícula tem sua posição definida por
para
, e a segunda partícula por
para
. Queremos descobrir em quantos pontos essas trajetórias se cruzam, ou seja, quantas vezes as posições das duas partículas são iguais.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes ferramentas da matemática:
- Compreensão de funções trigonométricas como cosseno (
), seno (), secante ( ) e tangente ( ). - Habilidade para resolver sistemas de equações não lineares.
Passo 2
Vamos igualar as posições das duas partículas para encontrar os possíveis pontos de interseção. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Aqui,
está no intervalo
e
está em
.
Passo 3
Vamos lembrar que
e . Substituindo essas definições nas equações, temos:
Passo 4
Simplificando a primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos manipular a segunda equação. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Substituindo
da equação do Passo 4:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Sabemos que . Vamos usar isso para eliminar as variáveis.
Passo 8
Substituindo e
nas suas respectivas fórmulas:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 25 para eliminar os denominadores:
Passo 9
Lembrando que , substituímos na equação:
Colocando em termos de
:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a identidade :
Expandindo:
Simplificando:
Passo 11
Então,
. Porém, precisamos verificar quais dessas soluções estão dentro do intervalo
e correspondem às equações originais.
Passo 12
Cada valor de
corresponde a dois valores de
no intervalo
. Portanto, existem 2 possíveis valores para
para cada sinal de
.
Passo 13
Com isso, concluímos que há 2 pontos de interseção onde as trajetórias das duas partículas se cruzam.
Resposta
Existem 2 pontos de interseção entre as trajetórias das duas partículas.
Exercícios relacionados
Seja
a curva com equações paramétricas
Esboce a curva.
Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;
O círculo
Calcule a integral.
Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.