Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?
Quantos pontos de interseção existem?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos duas partículas movendo-se no plano com posições dadas por funções de tempo. A primeira partícula tem sua posição definida por
para
, e a segunda partícula por
para
. Queremos descobrir em quantos pontos essas trajetórias se cruzam, ou seja, quantas vezes as posições das duas partículas são iguais.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes ferramentas da matemática:
- Compreensão de funções trigonométricas como cosseno (
), seno (), secante ( ) e tangente ( ). - Habilidade para resolver sistemas de equações não lineares.
Passo 2
Vamos igualar as posições das duas partículas para encontrar os possíveis pontos de interseção. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Aqui,
está no intervalo
e
está em
.
Passo 3
Vamos lembrar que
e . Substituindo essas definições nas equações, temos:
Passo 4
Simplificando a primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos manipular a segunda equação. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Substituindo
da equação do Passo 4:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Sabemos que . Vamos usar isso para eliminar as variáveis.
Passo 8
Substituindo e
nas suas respectivas fórmulas:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 25 para eliminar os denominadores:
Passo 9
Lembrando que , substituímos na equação:
Colocando em termos de
:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a identidade :
Expandindo:
Simplificando:
Passo 11
Então,
. Porém, precisamos verificar quais dessas soluções estão dentro do intervalo
e correspondem às equações originais.
Passo 12
Cada valor de
corresponde a dois valores de
no intervalo
. Portanto, existem 2 possíveis valores para
para cada sinal de
.
Passo 13
Com isso, concluímos que há 2 pontos de interseção onde as trajetórias das duas partículas se cruzam.
Resposta
Existem 2 pontos de interseção entre as trajetórias das duas partículas.