Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos duas partículas movendo-se no plano com posições dadas por funções de tempo. A primeira partícula tem sua posição definida por para , e a segunda partícula por para . Queremos descobrir em quantos pontos essas trajetórias se cruzam, ou seja, quantas vezes as posições das duas partículas são iguais.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes ferramentas da matemática:
  • Compreensão de funções trigonométricas como cosseno ( ), seno (), secante ( ) e tangente ( ).
  • Habilidade para resolver sistemas de equações não lineares.

Passo 2

Vamos igualar as posições das duas partículas para encontrar os possíveis pontos de interseção. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Aqui, está no intervalo e está em .

Passo 3

Vamos lembrar que e . Substituindo essas definições nas equações, temos:

Passo 4

Simplificando a primeira equação:

Passo 5

Agora, vamos manipular a segunda equação. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Substituindo da equação do Passo 4:

Passo 6

Simplificando a equação:

Passo 7

Agora, temos duas equações:
Sabemos que . Vamos usar isso para eliminar as variáveis.

Passo 8

Substituindo e nas suas respectivas fórmulas:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 25 para eliminar os denominadores:

Passo 9

Lembrando que , substituímos na equação:
Colocando em termos de :

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por :
Usando a identidade :
Expandindo:
Simplificando:

Passo 11

Então, . Porém, precisamos verificar quais dessas soluções estão dentro do intervalo e correspondem às equações originais.

Passo 12

Cada valor de corresponde a dois valores de no intervalo . Portanto, existem 2 possíveis valores para para cada sinal de .

Passo 13

Com isso, concluímos que há 2 pontos de interseção onde as trajetórias das duas partículas se cruzam.

Resposta

Existem 2 pontos de interseção entre as trajetórias das duas partículas.

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