Seja a curva com equações paramétricas
Esboce a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas:
O assunto aqui é equações paramétricas e esboço de curvas. Para esboçar essa curva, vamos precisar entender como e se comportam conforme varia. Isso vai nos ajudar a traçar pontos no plano e visualizar a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que , porque dentro do logaritmo temos e o argumento do logaritmo deve ser positivo. Ou seja, implica .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de para calcular e :
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento das funções para entender melhor a curva:
  • Para :
    Então, a curva se aproxima do ponto quando se aproxima de -1 pela direita.
  • Para :
    A curva vai para o infinito em ambas as direções conforme aumenta.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
  • Temos pontos chave: , , , .
  • A curva começa de , próximo a .
  • Conforme aumenta, e aumentam também, indo para .
Isso sugere que a curva é crescente e se estende para a direita e para cima no plano cartesiano.

Resposta

Com base nos cálculos e análises, o esboço da curva apresenta-se como uma linha crescente que inicia em e se estende para a direita e para cima, passando pelos pontos , , , , formando uma curva suave e contínua no plano.

Exercícios relacionados

Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;
Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;
Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?
Calcule a integral.