Seja
a curva com equações paramétricas
Esboce a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
definida pelas equações paramétricas:
O assunto aqui é equações paramétricas e esboço de curvas. Para esboçar essa curva, vamos precisar entender como
e
se comportam conforme
varia. Isso vai nos ajudar a traçar pontos no plano e visualizar a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que
, porque dentro do logaritmo temos
e o argumento do logaritmo deve ser positivo. Ou seja,
implica
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
para calcular
e
:
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Ponto:. -
Para
: Ponto:. -
Para
: Ponto:.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento das funções para entender melhor a curva:
-
Para
: Então, a curva se aproxima do pontoquando se aproxima de -1 pela direita. -
Para
: A curva vai para o infinito em ambas as direções conformeaumenta.
Passo 5
Agora, juntando tudo:
- Temos pontos chave:
, , , . - A curva começa de
, próximo a . - Conforme
aumenta, e aumentam também, indo para .
Isso sugere que a curva é crescente e se estende para a direita e para cima no plano cartesiano.
Resposta
Com base nos cálculos e análises, o esboço da curva
apresenta-se como uma linha crescente que inicia em
e se estende para a direita e para cima, passando pelos pontos
,
,
,
, formando uma curva suave e contínua no plano.
Exercícios relacionados
Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;
O círculo
Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;
Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Quantos pontos de interseção existem?
Quantos pontos de interseção existem?
Calcule a integral.