Seja C a curva com equações paramétricas
x(t) = 1 + 2 ln(1 + t), y(t) = 1 + (1 + t)^{2}, t > -1
Calcule d y / d x sem usar a equação cartesiana de C;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas:
A gente precisa calcular sem transformar a curva em uma equação cartesiana. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas paramétricas, que envolve calcular e e depois dividir esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A equação para é:
A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função logarítmica , que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular . A equação para é:
A derivada de em relação a é:
Aqui, aplicamos a regra da potência, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora que temos e , podemos encontrar dividindo essas duas derivadas:
Simplificamos os termos cancelando o 2 e multiplicando por .

Resposta

A derivada da curva é .

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