Seja
a curva com equações paramétricas
Calcule
sem usar a equação cartesiana de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
definida por equações paramétricas:
A gente precisa calcular
sem transformar a curva em uma equação cartesiana. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas paramétricas, que envolve calcular
e
e depois dividir esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. A equação para
é:
A derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função logarítmica
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A equação para
é:
A derivada de
em relação a
é:
Aqui, aplicamos a regra da potência, onde a derivada de
é
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos encontrar
dividindo essas duas derivadas:
Simplificamos os termos cancelando o 2 e multiplicando
por
.
Resposta
A derivada
da curva
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Calcule a integral.
Suponha que a posição de duas partículas no instante
seja dada por
,
e
, respectivamente.
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
Seja
a curva com equações paramétricas
Determine uma parametrização da reta normal à curva
no ponto
;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor