Seja a curva com equações paramétricas
Calcule sem usar a equação cartesiana de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas:
A gente precisa calcular sem transformar a curva em uma equação cartesiana. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas paramétricas, que envolve calcular e e depois dividir esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A equação para é:
A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função logarítmica , que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular . A equação para é:
A derivada de em relação a é:
Aqui, aplicamos a regra da potência, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora que temos e , podemos encontrar dividindo essas duas derivadas:
Simplificamos os termos cancelando o 2 e multiplicando por .

Resposta

A derivada da curva é .

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Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
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Seja a curva com equações paramétricas
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(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)