Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por sigma(t) = (2 sec(t), 2 tg(t)), 0 <= t < pi / 2 e α(t) = (5 cos t, 3 sen t), 0 <= t <= 2 pi, respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. Temos duas partículas com posições definidas pelas funções para e para . A questão é saber se, em algum instante de tempo , essas partículas estão no mesmo lugar ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as posições das duas partículas para ver se existe algum valor de t que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo. Isso significa que as coordenadas x e y das duas partículas devem ser iguais no mesmo instante t. Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação: . Sabemos que sec(t) é o inverso de cos(t), ou seja, . Substituindo isso na equação:
Multiplicando ambos os lados por cos(t) para eliminar o denominador:
é

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação: . Sabemos que , então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por (já que em ):

Passo 5

Agora, temos duas expressões para cos(t):
Claramente, essas duas expressões não são iguais. Portanto, não existe nenhum valor de t que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, as partículas nunca estão no mesmo lugar ao mesmo tempo porque não existe nenhum valor de t que satisfaz as duas equações simultaneamente.

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