Suponha que a posição de duas partículas no instante seja dada por , e , respectivamente.
Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre os pontos de colisão. Se não, justifique porque.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. Temos duas partículas com posições definidas pelas funções para e para . A questão é saber se, em algum instante de tempo , essas partículas estão no mesmo lugar ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as posições das duas partículas para ver se existe algum valor de que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo. Isso significa que as coordenadas e das duas partículas devem ser iguais no mesmo instante . Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação: . Sabemos que é o inverso de , ou seja, . Substituindo isso na equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
é

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação: . Sabemos que , então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por (já que em ):

Passo 5

Agora, temos duas expressões para :
Claramente, essas duas expressões não são iguais. Portanto, não existe nenhum valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, as partículas nunca estão no mesmo lugar ao mesmo tempo porque não existe nenhum valor de que satisfaz as duas equações simultaneamente.

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