Calcule a integral. integral cos ^6 y sen^3 y d y

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: calcular a integral . Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente a substituição. Vamos manipular as potências de cosseno e seno para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, observe que integral cos^6 y cdot sen y cdot (1 - cos^2 y) , dy pode ser reescrito como . Sabemos também que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = -sen y , dy Rightarrow -du = sen y , dy . Então, a derivada de integral u^6 cdot (1 - u^2) cdot (-du) = -integral u^6 (1 - u^2) , du em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 4

Distribuindo o - integral (u^6 - u^8) , du = integral (u^8 - u^6) , du dentro do parêntese:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral u^8 , du = u^99
integral u^6 , du = u^77
Então, a integral fica:
u^99 - u^77 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos cos^9 y9 - cos^7 y7 + C de volta na expressão:

Resposta

cos^9 y9 - cos^7 y7 + C

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