Calcule a integral. integral sen x+sec ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sin x + sec^5 x. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos separar a integral em duas partes e resolver cada uma individualmente.

Passo 2

Primeiro, separemos a integral em duas partes:
integral (sin x + sec^5 x),dx = integral sin x,dx + integral sec^5 x,dx

Passo 3

Vamos resolver integral sin x,dx. A integral de sin x é bem direta:
integral sin x,dx = -cos x + C1
Aqui, C1 é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver integral sec^5 x,dx. Esse integral é um pouco mais complicado e envolve uma técnica de integração por partes. Vamos usar a seguinte identidade:
sec^5 x = sec^3 x cdot sec^2 x
Sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x, então podemos reescrever a integral:
integral sec^5 x,dx = integral sec^3 x (1 + tan^2 x),dx
Agora, fazemos uma substituição:
u = tan x du = sec^2 x,dx
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral sec^3 x (1 + tan^2 x),dx = integral sec x (1 + u^2),du
Integrando termo a termo:
integral sec x,du + integral sec x u^2,du
Após resolver essas integrais, combinamos os resultados para obter:
integral sec^5 x,dx = sec^3 x tan x4 + 34 integral sec^3 x,dx + C2
E sabemos que:
integral sec^3 x,dx = sec x tan x2 + 12 ln |sec x + tan x| + C3
Substituindo de volta:
integral sec^5 x,dx = sec^3 x tan x4 + 38 sec x tan x + 38 ln |sec x + tan x| + C
Onde C é a constante de integração final.

Resposta

A integral de sin x + sec^5 x é:
- cos x + sec^3 x tan x4 + 38 sec x tan x + 38 ln |sec x + tan x| + C
Onde C é a constante de integração.

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