Se lim x p f(x)=L1 e lim x p g(x)=L2. Prove as seguintes propriedades de limites:
b) lim x p k cdot f(x)=k cdot L1, onde k é uma constante.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre limites. O problema nos pede para provar que, se o limite de uma função quando se aproxima de é , ou seja, , então o limite de (onde é uma constante) quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite e as propriedades das operações com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Para isso, vamos multiplicar a função por uma constante . Uma das propriedades dos limites diz que podemos multiplicar o limite de uma função por uma constante fora do limite.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, temos:
limx to p k cdot f(x) = k cdot limx to p f(x)
Isso significa que podemos tirar o de fora do limite.

Passo 5

Sabemos, pelo enunciado, que k cdot limx to p f(x) = k cdot L1 . Substituindo esse valor na expressão, temos:

Resposta

Portanto,
limx to p k cdot f(x) = k cdot L1

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