Calcule a integral. integral sen^2 x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o seno ao quadrado e o seno duplo. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral sin^2x cdot 2 sin x cos x , dx pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica: . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos constantes:
2 integral sin^3x cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos usar a substituição. Se deixarmos du = cos x , dx , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
2 integral u^3 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar 2 cdot u^44 + C = u^42 + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos sin^4x2 + C de volta por :

Resposta

integral sin^2x sin 2x , dx = sin^4x2 + C

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