Determine todos os valores das constantes
e
para que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os valores das constantes
e
de modo que o limite
seja igual a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.
Passo 2
Vamos analisar a expressão dentro do limite:
. Quando
se aproxima de 0, o cosseno de
se aproxima de
, já que
.
Passo 3
Então, substituindo
na expressão, temos:
Esse resultado inicialmente parece dar
, mas o exercício pede que o limite seja
. Isso indica que tanto o numerador quanto o denominador devem se aproximar de zero para termos uma forma indeterminada
, onde podemos aplicar técnicas de cálculo de limites.
Passo 4
Para que o denominador
se aproxime de zero quando
tende a 0, devemos ter:
Então, já sabemos que
.
Passo 5
Com
, a expressão do limite fica:
Agora, para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para o cosseno perto de zero, que é:
Passo 6
Substituindo a aproximação na expressão do denominador:
Então, a expressão do limite se torna:
Passo 7
Queremos que esse limite seja igual a
:
Multiplicando os dois lados por
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
As constantes que satisfazem o limite são
e
.