Determine todos os valores das constantes a e b para que lim x 0 x^2a+cos (b x)=-8.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os valores das constantes e de modo que o limite seja igual a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.

Passo 2

Vamos analisar a expressão dentro do limite: . Quando se aproxima de 0, o cosseno de se aproxima de , já que .

Passo 3

Então, substituindo 0^2a + cos(0) = 0a + 1 na expressão, temos:
Esse resultado inicialmente parece dar , mas o exercício pede que o limite seja . Isso indica que tanto o numerador quanto o denominador devem se aproximar de zero para termos uma forma indeterminada , onde podemos aplicar técnicas de cálculo de limites.

Passo 4

Para que o denominador a + 1 = 0 Rightarrow a = -1 se aproxime de zero quando tende a 0, devemos ter:
Então, já sabemos que .

Passo 5

Com lim x 0 x^2-1 + cos(bx) , a expressão do limite fica:
cos(bx) approx 1 - (bx)^22
Agora, para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para o cosseno perto de zero, que é:

Passo 6

Substituindo a aproximação na expressão do denominador:
-1 + cos(bx) approx -1 + (1 - (bx)^22) = -(bx)^22
Então, a expressão do limite se torna:
lim x 0 x^2-b^2x^22 = lim x 0 x^2-b^2x^22 = -2b^2

Passo 7

Queremos que esse limite seja igual a -2b^2 = -8 :
2b^2 = 8
Multiplicando os dois lados por :

Passo 8

Resolvendo para b^2 = 28 = 14 Rightarrow b = pm 12 :

Resposta

As constantes que satisfazem o limite são e .

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