Calcule a integral

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas básicas e usar algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função cosecante, que é igual a . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, para integrar , podemos usar a seguinte técnica: multiplicar e dividir a função por . Isso ajuda a simplificar a integral. Vamos multiplicar e dividir por :

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 5

Voltando à nossa integral, ela fica:

Passo 6

A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então, temos:

Passo 7

Agora, substituímos de volta para nossa variável original :

Resposta

A integral de em relação a é:

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