Calcule a integral
integral cossec theta d theta

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de cossec theta em relação a theta. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas básicas e usar algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cossec theta é a função cosecante, que é igual a csc theta = 1sin theta. Então, nossa integral fica:
integral csc theta , dtheta

Passo 3

Agora, para integrar csc theta, podemos usar a seguinte técnica: multiplicar e dividir a função por csc theta + cot theta. Isso ajuda a simplificar a integral. Vamos multiplicar e dividir por csc theta + cot theta:
integral csc theta cdot csc theta + cot thetacsc theta + cot theta , dtheta = integral csc^2 theta + csc theta cot thetacsc theta + cot theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = csc theta + cot theta
Então, precisamos encontrar a derivada de u em relação a theta:
dudtheta = -csc theta cot theta - csc^2 theta = -(csc^2 theta + csc theta cot theta)
Isso significa que:
du = -(csc^2 theta + csc theta cot theta) , dtheta

Passo 5

Voltando à nossa integral, ela fica:
integral csc^2 theta + csc theta cot thetacsc theta + cot theta , dtheta = integral -duu = -integral duu

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é ln |u| + C, onde C é a constante de integração. Então, temos:
-integral duu = -ln |u| + C

Passo 7

Agora, substituímos u de volta para nossa variável original theta:
-ln |csc theta + cot theta| + C

Resposta

A integral de cossec theta em relação a theta é:
integral csc theta , dtheta = -ln |csc theta + cot theta| + C

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