Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de em relação a . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Normalmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada, e como o restante que podemos facilmente integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma divisão polinomial ou simplificar a expressão. Vamos reescrever como :
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculamos cada uma das integrais separadamente:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples: seja , então e :

Passo 7

Voltando à integral original:

Passo 8

Agora, colocando tudo junto na expressão da integração por partes:
Simplificando:

Passo 9

Podemos deixar a resposta de forma simplificada combinando os termos:

Resposta

A integral de é:

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Demonstre as fórmulas abaixo, onde e são nḿeros inteiros não negativos
.
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