Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Normalmente, escolhemos
como a função que se simplifica quando derivada, e
como o restante que podemos facilmente integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificamos a integral restante:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma divisão polinomial ou simplificar a expressão. Vamos reescrever
como
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculamos cada uma das integrais separadamente:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples: seja
, então
e
:
Passo 7
Voltando à integral original:
Passo 8
Agora, colocando tudo junto na expressão da integração por partes:
Simplificando:
Passo 9
Podemos deixar a resposta de forma simplificada combinando os termos:
Resposta
A integral de
é:
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Demonstre as fórmulas abaixo, onde
e
são nḿeros inteiros não negativos
.
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