Calcule a integral
integral x ln (1+x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de em relação a . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Normalmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada, e como o restante que podemos facilmente integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(1 + x) e dv = x , dx
Agora, vamos derivar du = 11 + x , dx e v = x^22 para encontrar e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(1 + x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(1 + x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x , dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral x^22(1 + x) , dx = 12 integral x^21 + x , dx
Para resolver essa integral, podemos fazer uma divisão polinomial ou simplificar a expressão. Vamos reescrever x^21 + x = x - x1 + x como 12 integral ( x - x1 + x ) dx = 12 ( integral x , dx - integral x1 + x , dx ) :
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculamos cada uma das integrais separadamente:
integral x , dx = x^22
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples: seja integral x1 + x , dx = integral t - 1t , dt = integral (1 - 1t) dt = t - ln|t| + C = (1 + x) - ln(1 + x) + C , então e :

Passo 7

Voltando à integral original:
12 ( x^22 - [ (1 + x) - ln(1 + x) ] ) = x^24 - 1 + x2 + ln(1 + x)2

Passo 8

Agora, colocando tudo junto na expressão da integração por partes:
integral x ln(1 + x) , dx = x^22 ln(1 + x) - ( x^24 - 1 + x2 + ln(1 + x)2 ) + C
Simplificando:
= x^22 ln(1 + x) - x^24 + 1 + x2 - ln(1 + x)2 + C
= ( x^22 - 12 ) ln(1 + x) - x^24 + 1 + x2 + C

Passo 9

Podemos deixar a resposta de forma simplificada combinando os termos:
integral x ln(1 + x) , dx = (x^2 - 1)2 ln(1 + x) - x^24 + x2 + C

Resposta

A integral de integral x ln(1 + x) , dx = (x^2 - 1)2 ln(1 + x) - x^24 + x2 + C é:

Exercícios relacionados