Demonstre as fórmulas abaixo, onde m e n são nḿeros inteiros não negativos
integral-pi^pi sen m x cos n x d x= 0 & se m neq n pi & se m=n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar uma integral que envolve funções trigonométricas, mais especificamente o seno e o cosseno. O enunciado diz que, para inteiros não negativos e , a integral de de a é zero quando é diferente de e é igual a quando é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de identidade trigonométrica e propriedades de integrais de funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a multiplicar seno e cosseno. A identidade é:
sin A cos B = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Aplicando isso na nossa integral, temos:
integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) dx = 12 integral-pi^pi [sin((m+n)x) + sin((m-n)x)] dx

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi sin((m+n)x) dx + integral-pi^pi sin((m-n)x) dx )
Sabemos que a integral de de a é zero para qualquer inteiro , porque a função seno é ímpar e o intervalo é simétrico.

Passo 4

Então, para 12 (0 + 0) = 0 e , ambas as integrais serão zero:
Isso confirma que a integral é zero quando é diferente de .

Passo 5

Agora, vamos ver o caso quando 12 ( integral-pi^pi sin(2mx) dx + integral-pi^pi 0 , dx ) = 12 cdot 0 = 0 . A segunda parte da integral fica , então:
Mas a integral original precisa ser reavaliada, pois a identidade usada anteriormente não se aplica diretamente quando .

Passo 6

Quando sin(mx) cos(mx) = 12 sin(2mx) , temos:
integral-pi^pi 12 sin(2mx) dx = 12 [ -12m cos(2mx) ]-pi^pi
Então, a integral fica:
12 ( -12m [cos(2mpi) - cos(-2mpi)] ) = 0
Calculando os limites, obtemos:
integral-pi^pi sin(mx) cos(mx) dx = 0
Isso sugere que há um erro na aplicação. Na verdade, para , a integral correta é:
Porém, de acordo com o enunciado, quando , a integral deveria ser . Isso indica que talvez a identidade trigonométrica usada inicialmente não seja a mais adequada para este caso específico.

Passo 7

Vamos reconsiderar a integração original:
integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) dx
Quando sin(mx) cos(mx) = 12 sin(2mx) , podemos usar a identidade:
12 integral-pi^pi sin(2mx) dx = 0
Integrando:
Isso ainda dá zero, então parece que houve uma confusão no enunciado ou na interpretação. Na verdade, a integral é zero para qualquer e , pois a função é ímpar em relação a zero.

Resposta

A integral é igual a zero para todos os inteiros não negativos e .

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