Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que temos e . Podemos reescrever como .

Passo 3

Sabemos que pode ser substituído por usando a identidade trigonométrica . Então, temos:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Para resolver essas integrais, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na primeira integral:

Passo 7

Fazendo a mesma substituição na segunda integral:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes que calculamos:

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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