Calcule a integral
integral sen^3 pi x cos ^2 pi x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que temos e . Podemos reescrever como .

Passo 3

Sabemos que sin^3(pi x) cos^2(pi x) = (1 - cos^2(pi x)) cdot sin(pi x) cdot cos^2(pi x) pode ser substituído por usando a identidade trigonométrica . Então, temos:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral (1 - cos^2(pi x)) cdot sin(pi x) cdot cos^2(pi x) , dx
Vamos simplificar isso:
integral sin(pi x) cos^2(pi x) , dx - integral sin(pi x) cos^4(pi x) , dx

Passo 5

Para resolver essas integrais, vamos fazer uma substituição. Vamos definir du = -pi sin(pi x) , dx Rightarrow sin(pi x) , dx = -dupi . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na primeira integral:
integral sin(pi x) cos^2(pi x) , dx = -1pi integral u^2 , du = -1pi cdot u^33 + C = -cos^3(pi x)3pi + C

Passo 7

Fazendo a mesma substituição na segunda integral:
integral sin(pi x) cos^4(pi x) , dx = -1pi integral u^4 , du = -1pi cdot u^55 + C = -cos^5(pi x)5pi + C

Passo 8

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
-cos^3(pi x)3pi - (-cos^5(pi x)5pi) + C = -cos^3(pi x)3pi + cos^5(pi x)5pi + C

Resposta

A integral de integral sin^3(pi x) cos^2(pi x) , dx = -cos^3(pi x)3pi + cos^5(pi x)5pi + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados