Seja f contínua em p = 1 e f(1) = 2. Prove que existe r>0 ; para todo x em Df 1-r<x< 1 + r => 3/2 < f(x) < 5/2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua no ponto e sabemos que . A pergunta é para provar que existe um intervalo ao redor de tal que, dentro desse intervalo, o valor de fica entre e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que a função é contínua em . Pela definição de continuidade, isso quer dizer que para qualquer , existe um tal que, se , então . Essa definição vai ser a base para a nossa prova.

Passo 3

No nosso caso, queremos que fique entre e . Podemos pensar nisso como garantir que a diferença entre e seja menor que . Ou seja, queremos que .

Passo 4

Aplicando a definição de continuidade, vamos escolher . Então, existe um tal que, se , teremos:

Passo 5

A desigualdade significa que está dentro de uma distância de de . Isso pode ser reescrito como:
Ou seja:

Passo 6

Portanto, se escolhermos , qualquer que satisfaz estará no intervalo e, consequentemente, estará entre e .

Resposta

Concluímos que existe um tal que, para todo em com , temos .

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