Seja f contínua em
e
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua no ponto
e sabemos que
. A pergunta é para provar que existe um intervalo ao redor de
tal que, dentro desse intervalo, o valor de
fica entre
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que a função
é contínua em
. Pela definição de continuidade, isso quer dizer que para qualquer
, existe um
tal que, se
, então
. Essa definição vai ser a base para a nossa prova.
Passo 3
No nosso caso, queremos que
fique entre
e
. Podemos pensar nisso como garantir que a diferença entre
e
seja menor que
. Ou seja, queremos que
.
Passo 4
Aplicando a definição de continuidade, vamos escolher
. Então, existe um
tal que, se
, teremos:
Passo 5
A desigualdade
significa que
está dentro de uma distância de
de
. Isso pode ser reescrito como:
Ou seja:
Passo 6
Portanto, se escolhermos
, qualquer
que satisfaz
estará no intervalo
e, consequentemente,
estará entre
e
.
Resposta
Concluímos que existe um
tal que, para todo
em
com
, temos
.