Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen^3(a theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno elevado a uma potência ímpar. Para resolver isso, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição que nos ajudarão a simplificar a integral e encontrar a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3(a theta) = sin^2(a theta) cdot sin(a theta) = (1 - cos^2(a theta)) cdot sin(a theta) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , então podemos aplicar isso aqui:

Passo 3

Agora, substituímos integral sin^3(a theta) , dtheta = integral (1 - cos^2(a theta)) cdot sin(a theta) , dtheta na integral original:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = -a sin(a theta) , dtheta Rightarrow sin(a theta) , dtheta = -dua . Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituímos integral (1 - u^2) cdot (-dua) = -1a integral (1 - u^2) , du e na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
-1a integral (1 - u^2) , du = -1a ( integral 1 , du - integral u^2 , du )
= -1a ( u - u^33 ) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos -1a ( cos(a theta) - cos^3(a theta)3 ) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral -cos(a theta)a + cos^3(a theta)3a + C é igual a:

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