Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen^2 t cdot cos ^3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Aqui estamos trabalhando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observe que a potência de cos t é ímpar ( cos^3 t). Isso é bom porque podemos aproveitar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral. Vamos separar um cos t para facilitar a substituição:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica que relaciona cos^2 t e :
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos facilitar as coisas fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso simplifica a integral para:
u = sen t Rightarrow du = cos t , dt

Passo 5

Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
integral (u^2 - u^4) , du

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral u^2 , du - integral u^4 , du = u^33 - u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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