Calcule: integral sen(3 x) cos (8 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de sin(3x) cos(8x) em relação a x. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais de produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos.

Passo 2

Primeiro, lembra daquela identidade trig trig para o produto de seno e cosseno? Ela diz que:
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Vamos aplicar isso com A = 3x e B = 8x.

Passo 3

Substituindo na identidade, temos:
sin(3x) cos(8x) = 12 [sin(3x + 8x) + sin(3x - 8x)] = 12 [sin(11x) + sin(-5x)]
E como sin(-theta) = -sin(theta), isso fica:
12 [sin(11x) - sin(5x)]

Passo 4

Agora, nossa integral original fica:
integral sin(3x) cos(8x) , dx = 12 integral [sin(11x) - sin(5x)] , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

A integral de sin(kx) em relação a x é -cos(kx)k + C. Aplicando isso:
12 ( -cos(11x)11 + cos(5x)5 ) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral sin(3x) cos(8x) , dx = -cos(11x)22 + cos(5x)10 + C

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