Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
[Dica no final]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar a integral definida de
até
da expressão em relação a
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente o estudo da convergência de integrais impróprias e algumas técnicas de integração. Precisamos verificar se essa integral converge (isto é, se ela tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular o valor dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que estamos integrando: . Essa combinação de funções trigonométricas divididas por potências de
sugere que podemos simplificar a integral usando técnicas de integração por partes. A ideia aqui é achar termos que, ao serem diferenciados ou integrados, facilitem o cálculo da integral.
Passo 3
Vamos definir duas funções para aplicar a integração por partes:
- Seja .
- Então, a derivada de
em relação a é .
Note que
é justamente a expressão que estamos integrando! Isso é uma boa pista de como proceder.
Passo 4
Pelo método de integração por partes, sabemos que:
Onde
é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar o limite dessa expressão quando
tende a
e quando
tende a
.
Primeiro, quando
:
Isso porque oscila entre
e
, e dividido por
tende a zero.
Segundo, quando
:
Esse é um limite conhecido da trigonometria, onde para
próximo de zero.
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão:
Resposta
A integral converge e o seu valor é
.
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