Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
[Dica no final]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar a integral definida de até da expressão em relação a . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente o estudo da convergência de integrais impróprias e algumas técnicas de integração. Precisamos verificar se essa integral converge (isto é, se ela tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular o valor dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que estamos integrando: . Essa combinação de funções trigonométricas divididas por potências de sugere que podemos simplificar a integral usando técnicas de integração por partes. A ideia aqui é achar termos que, ao serem diferenciados ou integrados, facilitem o cálculo da integral.

Passo 3

Vamos definir duas funções para aplicar a integração por partes:
  • Seja .
  • Então, a derivada de em relação a é .
Note que é justamente a expressão que estamos integrando! Isso é uma boa pista de como proceder.

Passo 4

Pelo método de integração por partes, sabemos que:
Onde é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar o limite dessa expressão quando tende a e quando tende a .
Primeiro, quando :
Isso porque oscila entre e , e dividido por tende a zero.
Segundo, quando :
Esse é um limite conhecido da trigonometria, onde para próximo de zero.

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão:

Resposta

A integral converge e o seu valor é .

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