Calcule a integral curvilínea ao longo de : , onde C é o gráfico de de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é . A curva é o gráfico de , que vai do ponto até . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais de linha que envolvem parametrizar a curva e calcular a integral ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A equação dada é , que é uma parábola. Para facilitar, podemos usar como parâmetro. Então, temos:
Como varia de até , nossos limites de integração serão de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação ao parâmetro :
Com isso, podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Substituindo , e na integral original:
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :
Calculando os valores:
Simplificando:

Resposta

A integral curvilínea vale .

Exercícios relacionados

Expresse como uma composição de duas funções; isto é, encontre e tais que .
(d.)
Provar que, se uma partícula move-se ao longo de uma curva com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal à curva .
Calcule a integral curvilínea ao longo de : em que é a elipse de a .
Resolva para as equações: .
(c.)