Calcule a integral curvilínea ao longo de
:
, onde C é o gráfico de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é
. A curva
é o gráfico de
, que vai do ponto
até
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais de linha que envolvem parametrizar a curva e calcular a integral ao longo dela.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A equação dada é
, que é uma parábola. Para facilitar, podemos usar
como parâmetro. Então, temos:
Como
varia de
até
, nossos limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
:
Com isso, podemos expressar
e
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na integral original:
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Calculando os valores:
Simplificando:
Resposta
A integral curvilínea vale
.
Exercícios relacionados
Expresse
como uma composição de duas funções; isto é, encontre
e
tais que
.
(d.)
(d.)
Provar que, se uma partícula move-se ao longo de uma curva
com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal à curva
.
Calcule a integral curvilínea ao longo de
:
em que
é a elipse
de
a
.
Resolva para
as equações:
.
(c.)
(c.)