Calcule a integral curvilínea ao longo de C : integralC(x-y) d x+x d y, onde C é o gráfico de y^2=x de (4,-2) a (4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é . A curva é o gráfico de , que vai do ponto até . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais de linha que envolvem parametrizar a curva e calcular a integral ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = y^2 . A equação dada é , que é uma parábola. Para facilitar, podemos usar como parâmetro. Então, temos:
Como varia de até , nossos limites de integração serão de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdy = 2y e dydy = 1 e dx = 2y , dy e dy = dy em relação ao parâmetro :
Com isso, podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Substituindo integralC (x - y) dx + x dy = integral-2^2 ( y^2 - y ) (2y , dy) + y^2 (dy) , = integral-2^2 ( 2y(y^2 - y) + y^2 ) dy = integral-2^2 (2y^3 - 2y^2 + y^2) dy e = integral-2^2 (2y^3 - y^2) dy na integral original:
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (2y^3 - y^2) dy = 24 y^4 - 13 y^3 + C = 12 y^4 - 13 y^3
Avaliado de [ 12 (2)^4 - 13 (2)^3 ] - [ 12 (-2)^4 - 13 (-2)^3 ] a [ 12 cdot 16 - 13 cdot 8 ] - [ 12 cdot 16 - 13 cdot (-8) ] = [ 8 - 83 ] - [ 8 + 83 ] :
( 243 - 83 ) - ( 243 + 83 ) = 163 - 323 = -163
Calculando os valores:
Simplificando:

Resposta

A integral curvilínea vale .

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