Provar que, se uma partícula move-se ao longo de uma curva com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal à curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se uma partícula está se movendo com velocidade constante ao longo de uma curva , então a aceleração dessa partícula é sempre normal (ou perpendicular) à curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de cinemática, que estuda o movimento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma velocidade constante. Quando dizemos que a velocidade é constante, isso quer dizer que a magnitude (ou seja, o valor absoluto) da velocidade não muda ao longo do tempo. Em termos matemáticos, se é a velocidade, então:

Passo 3

Agora, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como a magnitude da velocidade é constante, podemos derivar o quadrado dessa magnitude para facilitar a análise:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do produto escalar :
Como a derivada do quadrado da velocidade é zero (porque a velocidade é constante), temos:
Isso significa que o produto escalar entre a velocidade e a aceleração é zero, ou seja, eles são perpendiculares entre si.

Passo 5

Agora, lembrando que a direção da velocidade está alinhada com a tangente à curva em cada ponto, concluímos que a aceleração é perpendicular à tangente da curva. Portanto, a aceleração está na direção normal à curva .

Resposta

A aceleração da partícula é sempre normal à curva quando a velocidade é constante.

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