Provar que, se uma partícula move-se ao longo de uma curva
com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal à curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se uma partícula está se movendo com velocidade constante ao longo de uma curva
, então a aceleração dessa partícula é sempre normal (ou perpendicular) à curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de cinemática, que estuda o movimento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma velocidade constante. Quando dizemos que a velocidade é constante, isso quer dizer que a magnitude (ou seja, o valor absoluto) da velocidade não muda ao longo do tempo. Em termos matemáticos, se
é a velocidade, então:
Passo 3
Agora, sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como a magnitude da velocidade é constante, podemos derivar o quadrado dessa magnitude para facilitar a análise:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do produto escalar
:
Como a derivada do quadrado da velocidade é zero (porque a velocidade é constante), temos:
Isso significa que o produto escalar entre a velocidade e a aceleração é zero, ou seja, eles são perpendiculares entre si.
Passo 5
Agora, lembrando que a direção da velocidade está alinhada com a tangente à curva
em cada ponto, concluímos que a aceleração
é perpendicular à tangente da curva. Portanto, a aceleração está na direção normal à curva
.
Resposta
A aceleração da partícula é sempre normal à curva
quando a velocidade é constante.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
(b)
(b)
Expresse
como uma composição de duas funções; isto é, encontre
e
tais que
.
(d.)
(d.)
Calcule a integral curvilínea ao longo de
:
, onde C é o gráfico de
de
a
.