Calcule a integral curvilínea ao longo de C : integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y em que C é a elipse x^24+y^216=1 de (2,0) a (raiz2, 2 raiz2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva , que é uma elipse definida por , indo do ponto até . O conteúdo envolve cálculo integral de campos vetoriais, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a elipse e substituir nas expressões da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a elipse. A equação x = a cos(theta) pode ser parametrizada usando funções trigonométricas. Geralmente, para uma elipse com semi-eixos y = b sin(theta) e x = 2 cos(theta) , usamos:
y = 4 sin(theta)
Aqui, e . Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para 2 = 2 cos(theta) Rightarrow cos(theta) = 1 Rightarrow theta = 0 . Sabemos que o ponto inicial é raiz2 = 2 cos(theta) Rightarrow cos(theta) = raiz22 Rightarrow theta = pi4 . Substituindo na parametrização:
O ponto final é :
Então, varia de a .

Passo 4

Vamos agora calcular dx = ddtheta(2 cos(theta)) , dtheta = -2 sin(theta) , dtheta e dy = ddtheta(4 sin(theta)) , dtheta = 4 cos(theta) , dtheta em termos de :

Passo 5

Substituímos a parametrização e as derivadas na integral original:
integralC (x + 2y) , dx + (x - y) , dy = integral0^pi4 [2cos(theta) + 2 cdot 4sin(theta)] cdot (-2sin(theta)) , dtheta + [2cos(theta) - 4sin(theta)] cdot 4cos(theta) , dtheta
Simplificando:
= integral0^pi4 (2cos(theta) + 8sin(theta)) (-2sin(theta)) + (2cos(theta) - 4sin(theta))(4cos(theta)) , dtheta

Passo 6

Agora, vamos expandir e simplificar os termos dentro da integral:
= integral0^pi4 [-4cos(theta)sin(theta) -16sin^2(theta) + 8cos^2(theta) -16cos(theta)sin(theta)] , dtheta
Agrupando termos semelhantes:
= integral0^pi4 [8cos^2(theta) -4cos(theta)sin(theta) -16cos(theta)sin(theta) -16sin^2(theta)] , dtheta
= integral0^pi4 [8cos^2(theta) -20cos(theta)sin(theta) -16sin^2(theta)] , dtheta

Passo 7

Vamos integrar termo a termo. Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a integração:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2, sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2, cos(theta)sin(theta) = sin(2theta)2
Substituindo:
= integral0^pi4 [8 cdot 1 + cos(2theta)2 -20 cdot sin(2theta)2 -16 cdot 1 - cos(2theta)2] , dtheta
= integral0^pi4 [4(1 + cos(2theta)) -10sin(2theta) -8(1 - cos(2theta))] , dtheta
Simplificando:
= integral0^pi4 [4 + 4cos(2theta) -10sin(2theta) -8 +8cos(2theta)] , dtheta
= integral0^pi4 [-4 +12cos(2theta) -10sin(2theta)] , dtheta

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
integral [-4] , dtheta = -4theta
integral 12cos(2theta) , dtheta = 6sin(2theta)
integral -10sin(2theta) , dtheta = 102cos(2theta) =5cos(2theta)
Juntando tudo:
-4theta +6sin(2theta) +5cos(2theta) |0^pi4

Passo 9

Agora, vamos avaliar de -4 cdot pi4 +6sin(pi2) +5cos(pi2) = -pi +6(1) +5(0) = -pi +6 a -4 cdot 0 +6sin(0) +5cos(0) =0 +0 +5 =5 :
Para (-pi +6) -5 = -pi +1 :
Para :
Diferença:

Resposta

O valor da integral curvilínea é .

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