Calcule a integral curvilínea ao longo de : em que é a elipse de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva , que é uma elipse definida por , indo do ponto até . O conteúdo envolve cálculo integral de campos vetoriais, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a elipse e substituir nas expressões da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a elipse. A equação pode ser parametrizada usando funções trigonométricas. Geralmente, para uma elipse com semi-eixos e , usamos:
Aqui, e . Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para . Sabemos que o ponto inicial é . Substituindo na parametrização:
O ponto final é :
Então, varia de a .

Passo 4

Vamos agora calcular e em termos de :

Passo 5

Substituímos a parametrização e as derivadas na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expandir e simplificar os termos dentro da integral:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo. Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a integração:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
Juntando tudo:

Passo 9

Agora, vamos avaliar de a :
Para :
Para :
Diferença:

Resposta

O valor da integral curvilínea é .

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Calcule a integral curvilínea ao longo de : , onde C é o gráfico de de a .
Expresse como uma composição de duas funções; isto é, encontre e tais que .
(d.)
Resolva para as equações: .
(c.)
Encontre uma fórmula para .
(a)