Calcule a integral curvilínea ao longo de : em que é a elipse de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva , que é uma elipse definida por , indo do ponto até . O conteúdo envolve cálculo integral de campos vetoriais, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a elipse e substituir nas expressões da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a elipse. A equação pode ser parametrizada usando funções trigonométricas. Geralmente, para uma elipse com semi-eixos e , usamos:
Aqui, e . Então, nossa parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites para . Sabemos que o ponto inicial é . Substituindo na parametrização:
O ponto final é :
Então, varia de a .
Passo 4
Vamos agora calcular e em termos de :
Passo 5
Substituímos a parametrização e as derivadas na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expandir e simplificar os termos dentro da integral:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo. Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a integração: